【拉氏变换部分分式法】用拉氏变换法解线性微分方程

2017/7/31 8:18:08

用拉氏变换法解线性微分方程 一 基本定义 若函数 f(t),t 为实变量,线积分 ∫ f(t)e-st dt 0 ∞ (s 为复变量)存在, ∞ 0 则称其为 f(t)的拉氏变换, 记为 F(s)或?[f(t)], F(s)=?[f(t)]=∫ f(t)e-st dt 即 常称:F(s)→f(t)的象函数; f(t) →F(s)的原函数。

【拉氏变换部分分式法】用拉氏变换法解线性微分方程

二 基本思路 用拉氏变换解线性微分方程,可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算 拉氏变换 微分方程 象函数 解代数方程 象原函数 (微分方程解) 拉氏反变换 象函数 代数方程 三 典型函数的拉氏变换 1、单位阶跃函数 f(t)=1(t)= 1 t≧0 0 t <0 F(s)=?[f(t)]= ∫ f(t)e 0 ∞ -st f(t) 1 0 t dt =∫ 1 e 0 ∞ -st dt =1/s 2、单位斜坡函数 f(t)= t 1(t) = t 0 ∞ f(t) t≥0 t<0 t F(s)=?[f(t)]= ∫0 t e-st dt =1/s? 3、等加速度函数 f(t) = 1/2 t? 0 ∞ 0 t≥0 t<0 f(t) F(s) = ∫ 1/2 t? e-st dt = 1/s? t 4、指数函数 f(t) f(t)= eα 0 ∞ t t≥0 t<0 t F(s)= ∫ 1/2 t? e-st dt =1 / (s-α ) 0 5、正弦函数 f(t) f(t)= sinwt 0 ∞ t≥0 t<0 t F(s) =∫sinwt e-st dt 0 = w/(s? w?) 四 拉氏变换的几个法则 对于一些简单原函数,可根据拉氏变换定义求象,但对于较复杂的原函数, 必须用到下面几个定理求取其象函数: 1、线性定理 若:?[f1(t)]=F1(s) 则 , ?[f2(t)]=F2(s) (a、b 为常数) ?[a f1(t) b f2(t)] = aF1(s) bF2(s) 2、微分定理 若:?[f(t)]=F(s) 则 ?[d?f(t)/dt?]=s?F(s) - ∑sn-i-1 f(i) (0) i=0 n-1 式中 f(i) (0)为 f(t)及其各阶导数在 t=0 时的值 若 f(i) (0) = 0 (a=1,2,…n) 则 ?[d?f(t)/dt?] =s?F(s) 3、积分定理 若:?[f(t)]=F(s) , 则 在零初始条件下: ?[∫…∫f(t)dt?]=1/s? F(s) 4、位移定理(延时定理) 若:?[f(t)]=F(s) 则 时域:?[f(t-t0)1(t-t0)] = F(s)e -α S 域:?[f(t)e t ] = F(s α ) -sto 5、初值与终值定理 若:?[f(t)] = F(s) ,且 f(t)的拉氏变换存在, 则 f(0)=limf(t) = lim s F(s) t→0 s→∞ f(∞)=limf(t)=lim sF(s) t→∞ s→0 例:求阶跃函数 f(t)=A 1(t) 的象函数 解: F(s)= ?[A 1(t)]= A ?[1(t)]=A 1/s 例:求脉冲函数δ (t) 的象函数 解: ∵δ (t) = d1(t)/dt ∴应用微分定理(初零)得: F(s)= ?[d1(t)/dt] = sF(s) =s 1/s = 1 例:求 f(t) = e -α t sinwt 的拉氏变换 解:应用位移定理, F(s)= ? [e 五 拉普拉斯反变换 定义:若?-?[F(s)] = f(t) = 1/(2π j)∫ 则称上式为 F(s)的拉氏反变换。

【拉氏变换部分分式法】用拉氏变换法解线性微分方程

由于上式中复变函数积分一般很难计算,∴由 F(s)求 f(t)常用部分分式法。 1、 求拉氏反变换的思路与步骤 ①将 F(s)分解成简单的有理分式函数之和 ②确定待定系数 若 F(s)分母无重根,则系数 Ci = lim (s-si) F(s) s→si 若 F(s)分母有重根,则系数 Cm=lim (s-si)m F(s) s→si Cm-1= lim( d/ds)[(s-si)m F(s)] s→si Cm-j = lim 1/j!

【拉氏变换部分分式法】用拉氏变换法解线性微分方程

dj/dsj [(s-si)m F(s)] s→si ……… C1 = 1/(m-1)! lim dm-1/dsm-1 [(s-si)m F(s)] s→si ③化简 F(s) ④由变换表求 F(s)→f(t) σ ∞ σ -∞ -α t sinwt] = w/[(s α )? w?] -st F(s)e dt , 2、 应用举例 s 2 s2 4s 3 C s 2 = 1 s 1 (s 1)(s 3) s 2 C2 s 3 例: F(s)= 解:(1) F(s)= (2) C1 = lim (s 1) = 1/2 s→-1 (s 1)(s 3) C2 = lim (s 3) (s 1)(s 3) = 1/2 s→-3 s 2 (3)简化 F(s)=1/2 1 3 1/2 s 1 s 1 (4)查表:f(t) = 1/2e-t 1/2e-3t=1/2(e-t e-3t) 例: F(s) = s 2 s(s 1)2(s 3) C1 (s 1)2 ,求拉氏反变换。

C2 s 1 C4 s 3 解:(1) F(s)= C3 s (2) C1 = lim (s 1)? s→-1 s 2 s(s 1)2(s 3) =-1/2 C2 = limd/ds[(s 1)2 s→-1 s 2 s(s 1)2(s 3) ] =-3/4 C3 = lim (s-0) F(s) = 2/3 s→0 C 4 = lim (s 3) F(s) =1/12 s→-3 (3) F(s)= -1/2 1 1 2 -3/4 s 1 (s 1) 2/3 1 s 1/12 s 3 1 (4) 查表得:f(t) = -1/2te-t - 3/4e-t 2/3 1/12e-3t 六 用拉氏变换解线性微分方程 1、建立微分方程 2、取拉氏变换 3、取拉氏反变换 4、整理 例: RC 电路如图 (1) RC dUc/dt Uc = Ur 1(t) (2) RC SUc(s)-RC Uc(0) Uc(s) = 1/s Ur (3) Uc(s) =S(RCS 1) (4) Uc(s) =1/S Ur RC (RCS 1) Uc(0) RC RC Ur (RCS 1) (RCS 1) 1 1 =1/S Ur Ur 1 1/RC 1 1/RC Ur Uc(0) Uc(0) (5) Uc(t)=Ur – Ur e1/RC t Uc(0) e -1/RC t Uc(t) Ur Uc(t) Ur (1-e-1/RC t ) Uc(0) Uc(0) e1/RC t t 小结: 1、拉氏变换基本概念; 2、拉氏变换的基本法则及应用; 3、拉氏变换解微分方程的基本思路; (*) 4、以拉氏反变换获取响应函数。

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(*)