正弦函数的倒数 为什么正弦函数的导数是余弦函数?

2017-09-27 - 正弦函数

楼上三角函数的回答在公式推导上应该是比较全面了。至于LZ关于概念性的回答,暂时没想到更好的答案。如果从本质论上去考虑,才疏学浅,不丢人现眼了。不过楼主要大体上知道,sin也好cos也好,只是一个符号,标记了一类满足某种性质的函数。

比如下面的问题,为什么e^x的导数是它本身,这不是导数的问题,导数的实质的确就是微商,这毫无疑问。首先你要知道,e=2.71....这个是定义出来的,我们首先知道(1 1/x)^x的极限存在,即能在实数轴上找到一个确定的点与之对应,我们把这个值记作e。

正弦函数的倒数 为什么正弦函数的导数是余弦函数?

那么再往前说,为什么要定义e。这是关于对数的定义,John Napier要作对数表,为了选择一个合适的底,即人们考虑到对数表的值要“合适”(这里,你就需要再去花一些功夫去学习一下了),考虑来考虑去,选择了上面说的那个极限作为底。

而我们知道,指数函数的导数和他自己是同阶的,只是相差一个常数,而如果你学了一些代数的内容后就应该知道,在各种底组成的指数函数中,总有一个的这个常数就是单位1,即任何数乘以这个玩意儿都是他本身。

正弦函数的倒数 为什么正弦函数的导数是余弦函数?

从哲学上说,你要标明“运动”,必须先相对的标明一个“静止”。比如公式中a^x的导数差得常数为ln(a),你可以理解成这个指数函数与那个不动的家伙差多少。

而理所当然的这个不动的家伙和他自己一点也不差,即ln e=1。所以e^x的导数和自己一点也不差。这样你也可以说,如果你当初把John Napier给毙了,然后说服大家用另外一个实数轴上的数当作那个“标准的不动的静止的家伙”,那么现在的数学中,那个以(1 1/x)^x的极限作底的指数函数的导数肯定就不是他自己了,应该是另外一个你定义的那个家伙——鬼知道你又用了个什么符号来表示——可以试试shit^x。

正弦函数的倒数 为什么正弦函数的导数是余弦函数?

--------------------------------------- 付博文的评论指出了我上述回答的不妥之处。 在此更正。的确是我在对于e的定义的理解上有疏漏。

在此道歉。 a^x的导函数=lim((a^(x Δx)-a^x)/Δx)=a^x*lim((a^Δx-1)/Δx) ......(Δx->0),可以知道右边这个极限是存在的,并且是与a有关的一个数,Euler为了计算方便,去寻找那个使右边这个极限为1的a,即a=lim(1 Δx)^(1/Δx).

....(Δx->0),这个极限的值,这样就接一开始说到的那里。

正弦函数的倒数 为什么正弦函数的导数是余弦函数?

后面的部分,加了斜体,说的是不对的。 引用:付博文 呃……我不太理解你说的定义e的事情,2.718被定义下来不是因为它代表了那个极限么?而指数函数求导的时候,需要计算那个极限,那么……不论如何,只要导数还是如今这种定义公式,那么指数函数的导数中就一定会出现log(2.

718)(a)吧?不如说,现在的实数体系中,“标准的静止不动的家伙”是既定的,所以说数学家们事实上只是发现了e,而不是定义了e?