正弦函数的反函数 古老泥板刻有最早三角函数表

2017-09-27 - 正弦函数

研究三角形长度和角度的三角函数,会迫使大多数现代高中生急匆匆地拿起手机查阅角度、正弦和余弦。如今,对一块3700年前的泥板进行的最新研究表明,巴比伦王国的数学家不但制订了第一张三角函数表,比希腊人早了1000多年,还发明了一种研究该学科的全新方法。不过,研究这块被称为Plimpton 322(P322)的泥板的其他专家表示,最新工作充其量也只是推测性的。

著名的P322泥板以楔形文字雕刻,含有4行15列数字。20世纪早期,考古学家、古董商和外交家Edgar Banks在如今的伊拉克南部地区发现了它。电影《夺宝奇兵》里的印第安纳·琼斯便是以Banks为原型创作的。

目前被存放在美国哥伦比亚大学的P322泥板在上世纪40年代首次引发关注。当时,历史学家意识到,它的楔形文字雕刻内容含有一系列同勾股定理相呼应的数字。不过,为何古代雕刻者首先产生了这些数字并将其分类,一直被争论了若干年。

当澳大利亚新南威尔士大学(UNSW)数学家Daniel Mansfield偶然看到一张P322的照片时,他正在为该国高中数学老师开发一门课程。Mansfield对此产生了好奇心,并且同UNSW数学家Norman Wildberger组成团队共同研究它。

"我花了两年时间研究这块泥板,然后得出‘我确定它是三角函数’的结论。但它是如何实现的?"Mansfield介绍说,希腊天文学家和现代高中生使用的常见的正弦、余弦和角度完全缺失。相反,每个条目包括关于直角三角形两边的信息:短边和长边之比以及短边和斜边之比。

Mansfield意识到,他需要的信息在P322缺失但已由其他研究人员重新构建的碎片中。"重构的这两个比率使P322变成一张清晰和易于使用的三角函数表。"他和Wildberger推断,巴比伦人利用其基本的60种数学形式,以直角三角形边长的精确比例而非角度的方式表达三角函数。研究人员在日前出版的《数学史》杂志上报告了这一成果。

"这是一种研究三角函数的完全不同的方法。"Mansfield表示,"我们更喜欢用正弦和余弦,但却不得不真正走出我们自己的文化,从他们的角度进行研究,才能理解其中的内容。"

德国柏林洪堡大学研究古代科学的历史学家Mathieu Ossendrijver认为,如果最新的诠释是正确的,那么P322将不仅含有三角函数的最早证据,还代表了一种具体的数学学科形式,而非估测的正弦和余弦数值所提供的近似值。这意味着,就现代三角函数表而言,如果有人利用已知的两边比率,那么也可以利用P322中的信息寻找其他两边的比率。

不过,Ossendrijver表示,目前仍然缺少证据,以表明巴比伦人实际上确实在利用这张表,或者其他人喜欢它,因为它能以最新论文中提出的方式解决问题。同时,从瑞典查尔姆斯理工大学退休的科学历史学家Jöran Friberg对最新成果进行了猛烈抨击。

他认为,巴比伦人"对边长比一无所知",而P322是"一张理解学校课本内容所需的参数表,并且仅仅顺便是一张关于所有数字均为边长的直角三角形的表格"。不过,Mansfield和 Wildberger反驳称,作为专业测量师的巴比伦人可能用这张表格构建宫殿、寺庙和运河。

法国国家科学研究中心数学历史学家Christine Proust是研究P322的专家。他认为,Mansfield和Wildberger团队的假设"是一个非常有吸引力的想法"。不过,她同时指出,尚未有已知的巴比伦语文本显示,这张表格被用于破解或者理解直角三角形。

该假设"在数学上是稳健的,但就目前来说,仍具有高度的推测性"。Ossendrijver认为,对其他巴比伦数学表格进行全面的研究或许能证明最新假设,但"目前这真的是一个有争议的问题"。(宗华编译)