正弦函数的傅里叶变换 三角函数性和e指数形式的傅里叶变换

2017-09-27 - 正弦函数

对于所有在以2pi 为周期的函数f(x),可以用一组如下的三角函数系将其展开:

显然,这组基在[-pi,pi]上是正交的,因此可以在周期区间求积分获得函数f(x)在以三角函数系为基的展开系数,或者说以三角函数系为坐标的投影值a0,an,bn……

一个一般的函数f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加,因此它的展开既含有正弦项又含有余弦项,但偶函数的展开仅含有常数项a0和正弦项,相似的,奇函数展开仅含有余弦项。

正弦函数的傅里叶变换 三角函数性和e指数形式的傅里叶变换

傅里叶级数的复数形式

根据欧拉公式e^jx=cosx jsinx,任意正弦、余弦项可以用复指表示,即cosx=(e^jx e^-jx)/2,sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。所以,任何一个周期函数f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1,e^jx,……,e^jnx上表出,在不同的坐标系之间,存在映射关系。

但重要的是,由于积分变换的核函数形式发生改变,其物理意义也将有所变化。由于复数的引入,每一个复指数e^jnx相对于三角函数系都变为一个二维量,其物理含义是一条三维螺旋线。其道理非常简单,一个实参a 表示数轴上的一点,而一个复数a bj表示二维坐标上的一点,所以cosx ,sinx 分别表示

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