反函数的定义 为什么数学概念中,将凸起的函数称为凹函数?

2017-09-29

如 @yukirock所引用的,中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和另一些机构不同。 那么我们来讲凸函数(convex function)为什么叫做是凸(convex)的:这是因为凸函数与凸集(convex set)有联系,而凸集的定义没有争议。

1. 凸函数与凸集通过 sublevel sets 这个概念联系起来。 首先来看一个函数的 sublevel sets。对于函数来说,它的-sublevel set 是这样定义的: 也就是在函数定义域内,对应函数值小于的自变量的取值构成的集合。

反函数的定义 为什么数学概念中,将凸起的函数称为凹函数?

联系1:对于任意来说,一个凸函数的-sublevel set 是一个凸集。 注意该命题的逆命题不成立。

为了更好的理解这个概念,以及逆命题为什么不成立,我们来看一个例子(图来自参考资料): 这是一个定义域和值域都在这是一个定义域和值域都在里面的函数,它是非凸的。它的-sublevel set 就是,显然是一个凸集。

反函数的定义 为什么数学概念中,将凸起的函数称为凹函数?

我们甚至可以看到对于这个函数,给定任意它的-sublevel set 都是凸集,但这个函数不是凸函数。这样的函数有一个名字叫做 quasiconvex. 2. 凸函数与凸集通过 epigraph 这个概念联系起来。

接着看一个函数的 epigraph。它是这样定义的: 这个前缀 epi 好像是 above 的意思,那么epigraph的意思大概是「上方的图」。对于的函数,它的 epigraph 就应该是的子集。

反函数的定义 为什么数学概念中,将凸起的函数称为凹函数?

接着看刚才的栗子,这个函数的epigraph就是函数上方的灰色部分(原谅我): 看到了吗,这不是一个凸集。看到了吗,这不是一个凸集。 联系2:凸函数的 epigraph 是一个凸集,反之也成立。

也就是说,一个函数是凸函数,当且仅当它的 epigraph 是凸集。 参考资料: Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization.

反函数的定义 为什么数学概念中,将凸起的函数称为凹函数?

Cambridge University Press, 2004. ----------- 突然发现 sublevel sets 和 epigraph 这两个概念也是相对的,把 sublevel sets 定义的小于等于号换成大于等于号说不定就有了 "superlevel sets", 同样的还可以定义 "hypograph", 所以可能凹凸的分别还是 by convention吧?