正切函数的性质与图像 必修4《1.3.2 正切函数的图像与性质》教学设计

2018-10-22 - 正切函数

  贝塔朗菲强调,任何系统都是一个有机的整体,它不是各个部分的机械组合或简单相加,而是系统的整体观念。数学知识更是一个有机整体,在平时的教学中,我习惯从系统的观点对所教内容进行整合,以优化其结构及知识、能力与方法。

正切函数的性质与图像

  建构主义学习理论认为:知识不是从外界搬到记忆中,而是以已有经验为基础,通过与外界的相互作用而获取,通过意义建构的方式而获得。

教学背景分析

三角函数是函数这个系统中的一个小分支,而正切函数是三角函数这个小分支中的一个内容节点,让学生能清晰的认识所研究的内容与方法:在内容上主要研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性;在方法选择上,数形结合应是对其性质研究的主要途径。

正切函数的性质与图像

但也要让学生明白,系统内部各个子系统有联系也有区别,作为正切函数除了一般函数的研究内容外,还要针对其图象的特点,特殊地研究其渐近线。在此也向学生进一步说明华老的“数缺形少直观,形少数难入微”的精妙,借助一切机会向学生渗透数学文化观念,让学生体会数的美无处不在,数学无处不美。

正切函数的性质与图像

本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后,又一具体的三角函数。学生已经掌握了角的正切,正切线和与正切有关的诱导公式,这为本节课的学习提供了知识的保障,在此基础上,进一步研究其性质、体会研究函数方法的课,也是为解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备的课.

正切函数的性质与图像

为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化,正切曲线的作图过程,采用《几何画板》自制课件进行演示,以提高了学生的学习兴趣,使之能达到良好的教学效果。

教学目标(内容框架)

知识与技能目标:

1.在对正切函数已有认知的基础上,分析正切函数的性质。

2.通过已知的性质,利用正切线画出正切函数在上的图像,得到正切曲线。

3.根据正切曲线,完善正切函数的性质。

过程与方法目标:

    在探究正切函数基本性质和图像的过程中,渗透数形结合的思想,形成发现问题、提出问题、解决问题的能力,养成良好的数学学习习惯.

情感态度价值观目标

    在教学中使学生了解问题的来龙去脉;强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透;突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成.

五、教学反思

我校李晓辉副校长在一次大会上,就关于教学有效性做了一个专题发言,在其中强调:课堂教学必须“从无效到有效,从有效到高效”.如何能做到高效的课堂,是我一直思考的问题.

1. 中学数学课堂承载使命

   数学知识是静态的,而数学思维则是动态的.数学思维与数学知识犹如人体的血肉关系:血液之荣枯外现于形体之盛衰.所以数学教学理应是数学思维活动的教学,其中揭示数学思维过程是数学教学最基本(最高)的指导原则.

在本节课中,我时刻通过设置“矛盾冲突”撞击学生的思维,比如:在得到正切函数的概念之后,提出如何研究这一具体函数的性质,启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法;又如,在得到正切函数的部分性质之后,提出如何能“丰满”正切函数的性质,启发学生可以借助图像进行研究,让学生感受“数缺形少直观,形缺少数难入微”的精妙.

总之,教师时刻以培养学生的思维为出发点的教学,才是真正的数学教学,才能承载中学数学课堂的使命——培养学生的数学思维和数学素养.

2. 站在系统的高度组织教学

任何系统都是一个有机的整体,它不是各个部分的机械组合或简单相加,系统论的核心思想是系统的整体观念。数学知识更是一个有机整体,我习惯运用系统的观点对所教内容进行整合,以优化其结构,系统其知识、能力与方法.其实,数学本身就是一个系统,在这个系统中,数学知识是“肉体”, 数学思想和方法是“神经系统”,数学思维则是“灵魂”.

三角函数是函数系统中的一个小分支,正切函数是三角函数这个小分支中的一个节点.正切函数的图像和性质“肉体”,类比和数形结合是“神经系统”,如何利用已知研究未知则是“灵魂”.

首先,类比研究正(余)弦函数的思路提出问题,让学生能清晰的认识本节课的内容:在内容上,是研究一个具体函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性;在思想方法上,数形结合应是对其性质研究的主要途径.

其次,在已有性质的基础上,如何能让正切函数的性质更加“丰满”呢?学生自然能想到借助图像,那么如何能得到图像呢?引导学生,从而得到画出图像的方法.

 我觉得,教师从系统论的高度把握高中数学教学,目的是使课堂教学更加有效,甚至高效.

3. 站在学生的角度组织教学

教师如果上课只是告诉学生数学结论或机械的方法,不但违背中学数学课堂教学所承载的使命,而且还不能培养学生的思维.

下面以“课堂提问”为例,谈谈本节课如何站在学生的角度组织教学,如何有效搭建已知到未知(知识的生成过程)的桥梁.

(1)提问的层次性

 课程两端提问——整体(宏观)  在本节课一开始,我提出问题:我们如何研究正切函数的性质,从哪些方面进行研究.这一提问能让学生明白我们这节课的主题,学生就会一直围绕这一问题进行思考,思维一直处在自我否定、自我完善的过程.

 中间部分提问——局部(微观,不失系统)  在研究函数的具体性质时,提出的问题就相对微观,譬如奇偶性、周期性可以从已知的诱导公式得到,值域可以从正切线看出等等,但这些都是在建构已知到未知的知识体系.

(2)提问的针对性

提问力争做到有的放矢,符合学生的最近发展区,紧紧围绕重点,针对难点,扣住疑点,体现强烈的目标意识和明确的思维方向.

比如在如何画出正切函数的图像这一问题上,我一直在引导学生可以从已有的性质入手,由周期性只需画出一个周期内的图像,再由奇偶性只需画出半个周期内的图像.

(3)提问的适时性

当课堂出现教学冲突,学生对问题的认识出现分歧时,提问能让冲突更加显现,更能揭示问题的本质.

比如,得到正切函数的图像之后,学生会觉得这节课应该到此结束了,这是我提出,我们先前得到的性质还可以再完美些吗?学生这是会恍然大悟,很自然想到可以从单调性、对称性、渐近线等方面“丰满”其性质.

  数学课堂教学就是通过一系列有一定梯度、有一定内在联系的问题链,由浅入深地引导学生思考,撞击学生的思维,直至揭示问题的本质的过程.

最后,我想说的是,“课堂教学是一门遗憾的艺术”,这节课还有很多不足,还有很多做得不到位的地方,譬如如何有效利用信息技术等.通过以上一些思考,尽管不到位,但思之则活,思活则深,思深则透.我会不断地反思自己的教学行为,总结教学的得失与成败,对每个教学过程进行回顾、分析和审视,逐渐形成自我反思的意识和自我监控的能力,不断丰富自我素养,提升自我发展能力,逐步完善教学艺术.

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